Công thức tính xác suất là gì? Hướng dẫn cách tính xác suất từ cơ bản đến nâng cao

Công thức tính xác suất cơ bản nhất là P(A) = n(A) / n(Ω): số kết quả thuận lợi cho biến cố A chia cho tổng số kết quả có thể xảy ra, với điều kiện các kết quả đồng khả năng. Đề phức tạp hơn thì chọn công thức theo dấu hiệu trong đề.

Bài đi từ cơ bản đến nâng cao. Mỗi công thức có điều kiện dùng, một ví dụ tính từng bước (xúc xắc, đồng xu, bộ bài 52 lá, vòng quay có trọng số) và lỗi hay gặp. Bảng tóm tắt toàn bộ công thức nằm cuối bài.

Xác suất là gì? Phép thử, không gian mẫu và biến cố

Xác suất của biến cố A là một số từ 0 đến 1 cho biết khả năng A xảy ra khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Biến cố không thể xảy ra có xác suất 0, biến cố chắc chắn có xác suất 1.

Chiều ngược lại (xác suất 0 thì không thể xảy ra) chỉ đúng trong mô hình hữu hạn mà mọi kết quả sơ cấp có xác suất dương, như các ví dụ đồng khả năng trong bài. Với mô hình vô hạn hoặc liên tục, xác suất 0 chưa chắc nghĩa là không thể xảy ra.

Đây là cách hiểu ở mức nhập môn. Giáo trình đại học định nghĩa xác suất bằng ba tiên đề, và các công thức trong bài đều suy ra từ ba tiên đề đó.

Bốn thuật ngữ cần nắm trước khi tính:

• Phép thử ngẫu nhiên: việc làm mà biết trước các kết quả có thể có nhưng không biết trước kết quả nào sẽ ra, ví dụ gieo một con xúc xắc.
• Không gian mẫu Ω: tập mọi kết quả có thể. Gieo một xúc xắc thì Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(Ω) = 6.
• Biến cố A: một tập con của Ω, ví dụ A = "ra số chẵn" = {2, 4, 6}, n(A) = 3.
• Biến cố đối Ā: A không xảy ra. Với ví dụ trên, Ā = "ra số lẻ" = {1, 3, 5}.

Hai tính chất luôn đúng: 0 ≤ P(A) ≤ 1 và P(Ω) = 1. Tính ra số âm hoặc lớn hơn 1 là đã sai ở bước nào đó.

Cấp cơ bản: xác suất cổ điển, biến cố đối và công thức cộng

Ba công thức xác suất cơ bản là xác suất cổ điển P(A) = n(A) / n(Ω), biến cố đối P(Ā) = 1 − P(A) và công thức cộng P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), dùng cho bài đếm trực tiếp, đếm phần bù hoặc gộp hai biến cố.

Xác suất cổ điển

Công thức: P(A) = n(A) / n(Ω)

Chỉ dùng khi Ω hữu hạn và mọi kết quả đồng khả năng (xúc xắc cân đối, đồng xu cân đối, bộ bài xáo đều).

Ví dụ: gieo một xúc xắc cân đối, tính xác suất ra số chẵn.

1. Không gian mẫu: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, nên n(Ω) = 6.
2. Kiểm tra điều kiện: xúc xắc cân đối, sáu mặt đồng khả năng.
3. Biến cố A = {2, 4, 6}, nên n(A) = 3.
4. P(A) = 3/6 = 1/2.

Biến cố đối

Công thức: P(Ā) = 1 − P(A)

Dùng khi đề hỏi "ít nhất một": tính trường hợp "không lần nào" rồi lấy 1 trừ đi thường nhanh hơn đếm trực tiếp.

Ví dụ: tung một đồng xu cân đối 3 lần, tính xác suất có ít nhất một lần ngửa.

1. Gọi A = "ít nhất một lần ngửa", vậy Ā = "cả 3 lần đều sấp".
2. Mỗi lần tung, xác suất sấp là 1/2, các lần tung độc lập nên P(Ā) = (1/2)³ = 1/8.
3. P(A) = 1 − 1/8 = 7/8.

Công thức cộng

Công thức tổng quát: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Nếu A và B xung khắc (không thể cùng xảy ra) thì P(A ∩ B) = 0, công thức còn P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Xung khắc không cùng nghĩa với độc lập; phần lỗi hay gặp ở dưới nói rõ hơn.

Ví dụ: rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá, tính xác suất được lá cơ hoặc lá K.

1. A = "lá cơ": 13 lá, P(A) = 13/52.
2. B = "lá K": 4 lá, P(B) = 4/52.
3. A ∩ B = "K cơ": 1 lá, P(A ∩ B) = 1/52. Lá này đã bị đếm hai lần ở bước 1 và 2.
4. P(A ∪ B) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13 ≈ 30,8%.

• ALá cơ: 13 lá
• BLá K: 4 lá
• A∩BK cơ: 1 lá, nằm trong cả A lẫn B nên trừ một lần

Cấp trung bình: xác suất có điều kiện và công thức nhân

Hai công thức cấp trung bình là xác suất có điều kiện P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) và công thức nhân P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A), dùng khi đề cho biết thêm một thông tin ("biết rằng…") hoặc hỏi hai việc xảy ra nối tiếp ("rồi…").

Xác suất có điều kiện

Công thức: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

P(A | B) đọc là "xác suất của A khi biết B đã xảy ra". Biết B nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại còn B.

Ví dụ: rút một lá từ bộ 52 lá, biết lá đó màu đỏ, tính xác suất nó là lá K.

1. B = "lá đỏ": 26 lá (cơ và rô), P(B) = 26/52.
2. A ∩ B = "K đỏ": K cơ và K rô, P(A ∩ B) = 2/52.
3. P(A | B) = (2/52) / (26/52) = 2/26 = 1/13.

Cách nhẩm: trong 26 lá đỏ có 2 lá K, nên 2/26.

Công thức nhân

Công thức tổng quát: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)

Nếu A và B độc lập (A xảy ra hay không không làm đổi xác suất của B) thì P(B | A) = P(B), công thức còn P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Ví dụ 1, không độc lập: rút lần lượt 2 lá từ bộ 52 lá, không hoàn lại, tính xác suất cả hai đều là Át.

1. Lần 1: 4 Át trong 52 lá, P(A₁) = 4/52.
2. Lần 2, biết lần 1 đã ra Át: còn 3 Át trong 51 lá, P(A₂ | A₁) = 3/51.
3. P(A₁ ∩ A₂) = 4/52 × 3/51 = 12/2652 = 1/221 ≈ 0,45%.

Nếu rút có hoàn lại (trả lá về và xáo lại), hai lần rút độc lập và kết quả là 4/52 × 4/52 = 1/169. Bạn có thể thử cả hai cách rút trên trang rút bài tây ngẫu nhiên có hoặc không hoàn lại để thấy bộ bài thay đổi sau mỗi lần rút.

Ví dụ 2, độc lập: tung một đồng xu và gieo một xúc xắc, tính xác suất được mặt ngửa và số 6.

1. P(ngửa) = 1/2, P(6) = 1/6.
2. Đồng xu và xúc xắc không ảnh hưởng nhau, nên dùng dạng độc lập.
3. P = 1/2 × 1/6 = 1/12.

Cấp nâng cao: xác suất toàn phần, Bayes, nhị thức và kỳ vọng

Bốn công thức xác suất nâng cao là xác suất toàn phần, Bayes, Bernoulli (phân phối nhị thức) và kỳ vọng; mỗi công thức hợp với một kiểu đề:

• Toàn phần: một biến cố xảy ra qua nhiều trường hợp.
• Bayes: đã biết kết quả, hỏi ngược về nguyên nhân.
• Nhị thức: đếm đúng k lần thành công trong n phép thử độc lập cùng xác suất.
• Kỳ vọng: cần giá trị trung bình dài hạn.

Các công thức này vẫn ghép từ công thức cộng và nhân ở trên nhưng có điều kiện chặt hơn, nên kiểm điều kiện trước rồi mới thay số.

Công thức xác suất toàn phần

Hiểu đơn giản: A có thể xảy ra theo nhiều "đường", cộng xác suất của từng đường lại.

Ví dụ giả định: một xưởng có hai máy. Máy 1 làm 60% sản phẩm, tỉ lệ lỗi 2%; máy 2 làm 40% sản phẩm, tỉ lệ lỗi 5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất nó bị lỗi.

1. Hệ đầy đủ: B₁ = "do máy 1 làm", B₂ = "do máy 2 làm"; P(B₁) = 0,6, P(B₂) = 0,4.
2. P(lỗi | B₁) = 0,02, P(lỗi | B₂) = 0,05.
3. Đường qua máy 1: 0,6 × 0,02 = 0,012. Đường qua máy 2: 0,4 × 0,05 = 0,020.
4. P(lỗi) = 0,012 + 0,020 = 0,032, tức 3,2%.

• Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm
  • Máy 1 làm: 0,6
    • Lỗi: 0,02 → 0,6 × 0,02 = 0,012
  • Máy 2 làm: 0,4
    • Lỗi: 0,05 → 0,4 × 0,05 = 0,020

Công thức Bayes

Dùng khi đã biết kết quả và hỏi ngược về nguyên nhân: "sản phẩm bị lỗi, khả năng nó do máy 2 làm là bao nhiêu?".

Ví dụ: tiếp tục xưởng hai máy ở trên, lấy được một sản phẩm lỗi, tính xác suất nó do máy 2 làm.

1. Tử số: P(B₂) × P(lỗi | B₂) = 0,4 × 0,05 = 0,020.
2. Mẫu số (đã tính ở mục trên): P(lỗi) = 0,032.
3. P(B₂ | lỗi) = 0,020 / 0,032 = 0,625, tức 62,5%.

Trên cây ở mục trước, Bayes lấy đường qua máy 2 (0,020) chia cho tổng hai đường (0,032). Máy 2 chỉ làm 40% sản phẩm nhưng chiếm 62,5% số sản phẩm lỗi, vì tỉ lệ lỗi của nó cao hơn. Nếu chỉ nhìn con số 40% thì dễ đoán sai chỗ này.

Công thức Bernoulli và phân phối nhị thức

X là số lần "thành công" trong n phép thử. Chỉ dùng khi đủ bốn điều kiện:

Ví dụ: tung đồng xu cân đối 5 lần, tính xác suất được đúng 3 lần ngửa.

1. Kiểm điều kiện: n = 5 lần tung, hai kết quả, các lần độc lập, p = 1/2 không đổi.
2. C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = 10: có 10 cách xếp 3 lần ngửa trong 5 lần.
3. pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ = (1/2)³ × (1/2)² = 1/32.
4. P(X = 3) = 10 × 1/32 = 10/32 = 31,25%.

Rút bài không hoàn lại thì không dùng công thức này để tính chính xác, vì các lần rút phụ thuộc nhau và p đổi sau mỗi lá (như ví dụ hai Át ở trên).

Kỳ vọng

Kỳ vọng là giá trị trung bình của X nếu lặp phép thử rất nhiều lần. Nó không phải kết quả dự đoán cho một lần thử.

Công thức chỉ dùng được khi tổng trên tồn tại (hội tụ); X chỉ nhận hữu hạn giá trị, như số chấm xúc xắc, thì tổng luôn tồn tại.

Ví dụ: gieo một xúc xắc cân đối, X là số chấm. Tính E(X).

1. X nhận các giá trị 1 đến 6, mỗi giá trị có xác suất 1/6.
2. E(X) = 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + … + 6 × 1/6 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6.
3. E(X) = 21 / 6 = 3,5.

Không mặt nào của xúc xắc có 3,5 chấm; con số này chỉ nói rằng gieo nhiều lần thì trung bình số chấm tiến gần 3,5. Với phân phối nhị thức có công thức nhanh E(X) = n × p: tung đồng xu 5 lần, số lần ngửa trung bình là 5 × 1/2 = 2,5.

Cách tính xác suất của vòng quay có trọng số

Trên vòng quay có trọng số, các ô không đồng khả năng, nên không được đếm mỗi ô là một kết quả rồi chia cho số ô. Xác suất của một ô bằng trọng số của ô chia cho tổng trọng số các ô đang bật:

P(ô i) = wᵢ / (w₁ + w₂ + … + wₙ)

Trên vongquay.com, khi bạn tạo vòng quay có trọng số, tab Mục có công tắc Chỉnh từng ô; bật lên thì mỗi ô có ô chọn trọng số với 5 mức ×1, ×2, ×3, ×5, ×10.

Phần đĩa của mỗi ô cũng chia đúng theo tỉ lệ này, nên ô có trọng số lớn trông to hơn. Ô bị tắt hoặc để trống chữ không được tính vào tổng.

Ví dụ giả định: vòng quay 5 ô A, B, C, D, E có trọng số lần lượt ×10, ×5, ×3, ×2, ×1.

1. Tổng trọng số: 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 21.
2. P(A) = 10/21 ≈ 47,62%.
3. P(E) = 1/21 ≈ 4,76%.
4. Tắt ô A thì tổng còn 5 + 3 + 2 + 1 = 11, và P(B) = 5/11 ≈ 45,45%. Phần trăm cũ không còn đúng, phải tính lại.

• Ô A×10 · 47,62%
• Ô B×5
• Ô C×3
• Ô D×2
• Ô E×1 · 4,76%

Cũng có thể nhìn theo cách cổ điển: xem mỗi đơn vị trọng số là một kết quả đồng khả năng. Tổng có 21 đơn vị, ô A chiếm 10 đơn vị, nên n(A)/n(Ω) = 10/21, đúng bằng kết quả trên.

Danh sách trong trình soạn thảo hiện phần trăm đã làm tròn cạnh từng ô khi các ô khác trọng số nhau, nên ví dụ trên sẽ hiện 48% và 5%. Xác suất thật vẫn là 10/21 và 1/21.

Máy chọn ô trúng bằng hàm nào được nói ở mục Vongquay.com dùng loại ngẫu nhiên nào. Muốn làm thí nghiệm đơn giản hơn với các số đồng khả năng, dùng vòng quay random số ngẫu nhiên.

Lỗi thường gặp khi tính xác suất

Lỗi thường gặp khi tính xác suất gồm đếm các kết quả không đồng khả năng, quên trừ phần giao, nhân hai biến cố không độc lập và đảo chiều điều kiện. Các lỗi này nằm ở bước chọn công thức hoặc kiểm điều kiện, không phải ở phép tính.

• Dùng n(A)/n(Ω) khi các kết quả đem đếm không đồng khả năng. Đếm mỗi ô của vòng quay có trọng số là một kết quả, hay coi các mặt xúc xắc lệch là như nhau, đều cho đáp án sai. Sửa: tính theo trọng số hoặc xác suất riêng của từng kết quả.
• Quên trừ phần giao khi cộng. "Cơ hoặc K" mà tính 13/52 + 4/52 = 17/52 là đếm K cơ hai lần. Sửa: trừ P(A ∩ B).
• Nhầm xung khắc với độc lập. Hai biến cố xung khắc có xác suất dương thì không độc lập: biết A đã xảy ra thì B chắc chắn không xảy ra.
• Nhân hai xác suất khi biến cố không độc lập. Rút hai Át không hoàn lại mà tính 4/52 × 4/52 là sai. Sửa: dùng P(B | A), tức 3/51.
• Đảo chiều điều kiện. P(lỗi | máy 2) = 5% khác hẳn P(máy 2 | lỗi) = 62,5%. Sửa: xác định rõ đã biết gì, hỏi gì, rồi dùng Bayes.
• Coi kỳ vọng là kết quả chắc chắn. E(X) = 3,5 không có nghĩa lần gieo tới ra 3,5 hay gần 3,5.
• Nghĩ lần sau "phải" khác lần trước. Tung đồng xu ra ngửa 5 lần liền, lần thứ 6 vẫn có xác suất ngửa là 1/2 vì các lần tung độc lập.

Bảng tóm tắt công thức tính xác suất

Nguồn tham khảo

• MIT, ghi chú bài giảng xác suất của P. Etingof — quy tắc đếm cho kết quả hữu hạn đồng khả năng; xác suất 0 không đồng nghĩa với không thể xảy ra (Remark 6.2).
• Penn State STAT 414, bài 2 (xác suất cơ bản) — tiên đề xác suất, cách gán xác suất cổ điển, biến cố đối và công thức cộng.
• OpenStax Introductory Statistics, tóm tắt công thức chương 3 — xác suất có điều kiện, độc lập, công thức nhân và cộng.
• Penn State STAT 414, bài 6 (Bayes) — công thức xác suất toàn phần và Bayes.
• Penn State STAT 414, bài 8 (kỳ vọng) — định nghĩa kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Penn State STAT 414, bài 10 (phân phối nhị thức) — điều kiện của phân phối nhị thức, công thức và kỳ vọng np.